مقاله دانشجویی

تست 11 (سال 77)

مجموعه ی نقاط مرزی یک مجموعه ی E از یک فضای متریک، مجموعه ای است ...

1) باز

2) بسته

3) هم باز و هم بسته

4) نه باز و نه بسته

حل تست:

گزینه ی 2.

مرز زیر فضای E از X، مجموعه ی نقاطی از فضای X است که هر همسایگی از هر نقطه ی آن، اشتراکی ناتهی با E و متمم E داشته باشد. با کمی دقت می توان ثابت کرد که متمم مرز، باز و در نتیجه مرز، مجموعه ای بسته است. (البته راه دیگر، اثبات این مطلب است که مرز E، شامل نقاط حدی خود است.)

هر گاه X یک فضای متریک، $A\subseteq X$ فشره و $B\subseteq X$ باز باشد، آنگاه ........... فشرده است.

1) $B-A$

2) $A-B$

3) $A\cup B$

4) $A\cap B$

حل تست:

گزینه ی 2.

می نوان نوشت: $A-B=A\cap B^c\subseteq A$ ؛ چون $A\cap B^c$ بسته و زیر مجموعه ای از یک فضای فشرده است، بنابر خودش نیز یک فضای فشرده است.

تست 13 (سال 78)

هرگاه $I_n$ دنباله ی آشیانی از فواصل غیر تهی در $\mathbb{R}$ باشد، تحت کدام یک از شرایط زیر، $\bigcap_{n=1}^\infty I_n$ ناتهی است؟

1) $I_n$ ها بسته باشند.

2) $I_n$ ها بسته و کراندار باشند.

3) $I_n$ ها کراندار باشند.

4) $I_n$ ها همبند باشند.

حل تست:

گزینه ی 2.

شرط اصلی، فشرده بودن است؛ اما در $\mathbb{R}$ فشردگی معادل بسته و کراندار است.

تست 14 (سال 78)

اگر A و B زیر مجموعه های $\mathbb{R}^n$ باشند، به قسمی که A بسته و B فشرده باشد و $A\cap B= \varnothing$ ، در این صورت کدام گزینه صحیح نمی باشد؟

1) A+B بسته است.

2) مجموعه ی بازی مانند V شامل A وجود دارد، به قسمی که $\overline{V}$ فشرده و $V\cap B= \varnothing$ .

3) تابع پیوسته ای مانند $f:\mathbb{R}^n \to [0,1]$ وجود دارد به قسمی که $f(A)=0$ و $f(B)=1$ .

4) نقاطی مانند $b_0\in B,\, a_0\in A$ وجود دارند به قسمی که

$\parallel a_0-b_0\parallel =inf\{\parallel a-b\parallel:a\in A, b\in B \}$

حل تست:

گزینه ی 2.

اگر A بی کران باشد، $\overline{V}$ نیز بی کران است و نمی تواند فشرده باشد.

تست 15 (سال 78)

اگر $A=\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n^2}:\,m,n\in \mathbb{N}\}$ ، در این صورت بستار $\overline{A}$ (کوچکترین مجموعه ی بسته در $\mathbb{R}$ و شامل A) عبارت است از:

1) $A\cup \{\frac{1}{m}:\,m\in \mathbb{N}\}$

2) $A\cup \{\frac{1}{n^2}:\,n\in \mathbb{N}\}$

3) $A\cup \{\frac{1}{n}:\,n\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}$

4) $A\cup \{\frac{1}{n^2}:\,n\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}$

حل تست:

گزینه ی 3.

m را ثابت نگاه دارید و n را به بی نهایت میل دهید؛ هم چنین n و m را با هم به بی نهایت میل دهید. ثابت کنید A غیر از این ها نقطه ی حدی دیگری ندارد.

تست 16 (سال 79)

اگر $\mathbb{R}^2$ با متر معمولی در نظر گرفته شود، مجموعه ی $A=\{(x,y): x^2-y^2\geq 1\}$ مجموعه ای است ..........

1) فشرده و همبند

2) نه فشرده و نه همبند

3) فشرده و ناهمبند

4) همبند است ولی فشرده نیست.

حل تست:

گزینه ی 2.

شکل A داخل هذلولی همراه با مرزهای آن است، بنابر این بی کران است و در نتیجه فشرده نیست؛ هم چنین به وضوح همبند نیست.

در فضای متریک $(\mathbb{N},d)$ که $d(m,n)=|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|$ ، مجموعه ی $B_{\frac{1}{5}}(2)$ (یعنی گوی باز به مرکز 2 و شعاع یک پنجم) برابر است با:

1) $\mathbb{N}$

2) $\{2\}$

3) $\{2,3\}$

4) $(\frac{10}{7},\frac{10}{3})$

حل تست:

گزینه ی 4.

کافی است تعریف گوی باز را بنویسید.

تست 18 (سال 80)

اگر $A=\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}:m,n\in \mathbb{N}\}$ ، آنگاه $A^{\circ}$ کدام است؟

1) $\varnothing$

2) $\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}$

3) $\mathbb{Q}$

4) $\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}$

حل تست:

گزینه ی 1.

A یک زیر فضای گسسته ی یک فضای متری اقلیدسی ناشماراست و لذا A شامل هیچ همسایگی از نقاط خود نیست.

تست 19 (سال 80)

قرار دهید $A=\{(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^m},\frac{2^n}{2^n+2^m}):\,m,n\in \mathbb{N}\}$ به عنوان زیر مجموعه ای از زوجهای مرتب در $\mathbb{R}^2$ .

1) $(0,0)$ نقطه ی درونی A است.

2) مجموعه ی A باز است.

3) مجموعه ی A بسته است.

4) $(0,0)$ نقطه ی حدی این مجموعه است.

حل تست:

گزینه ی 4.

اگر یک بار m را ثابت نگاه دارید و n را به بی نهایت میل دهید و سپس m را به بی نهایت میل دهید، مشخص است که مبدأ نقطه ی حدی A است که عضو آن نیست. پس 3 درست نیست. از طرفی A شماراست و لذا 1 و 2 درست نیست.

ست 20 (سال 80)

کدام گزینه نادرست است؟

1) اجتماع هر دو مجموعه همبند با اشتراک ناتهی مجموعه ای است همبند.

2) اشتراک هر دو مجموعه ی همبند $\mathbb{R}^n$ برای $n\geq 2$ ، مجموعه ای است همبند.

3) تنها زیر مجموعه ی (ناتهی) همبند فضای اعداد گویا، تک عنصری است.

4) تنها زیر مجموعه های (ناتهی) همبند فضای متریک گسسته، تک عنصری هستند.

حل تست:

گزینه ی 1.

دو قرص بسته ی مماس بر هم را در نظر بگیرید. هریک از آنها همبند ولی اجتماع آن ها همبند نیست.

نکته: برای گزینه ی 4 به اینجا مراجعه کنید. (یك فضای گسسته همبند نیست مگر اینكه تك عضوی باشد. زیرا در غیر این صورت مجموعه همه ی تك عضویها تشكیل یك جداسازی برای این فضا می دهد(چون در فضای گسسته هر مجموعه ی تك عضوی هم باز است وهم بسته) و می دانیم كه هر فضایی كه دارای یك جداسازی باشد همبند نیست. پس هر فضای گسسته با بیش از یك عضو همبند نیست.)

تست 21 (سال 80)

در فضای متریک $A\subset X,\,(X,d)$ ، کدام عبارت، مرز مجموعه ی A نیست؟

1) $\overline{A}-A^\circ$

2) $\overline{A}\cap(\overline{X-A})$

3) $\overline{A}\cap(X-\overline{A})$

4) $(\overline{X-A})-(X-A)^\circ$

حل تست:

گزینه ی 3.

با توجه به تعریف، مرز $\mathbb{Q}$ عبارت است از $\mathbb{R}$ ؛ حال کافی است قرار دهید $X=\mathbb{R}$ و $A=\mathbb{Q}$ .

تست 22 (سال 81)

فرض کنید $Y\subseteq\mathbb{R}$ و $Y=[0,1]\cup (2,4)$ ؛ آنگاه

1) $(2,4)$ فشرده در Y است.

2) $[0,1]$ باز و بسته در Y است.

3) $(2,4)$ کامل در Y است.

4) $[0,1]$ چگال در Y است.

حل تست:

گزینه ی 2 و 3 !!

به وضوح هر نقطه ی $[0,1]$ ، نقطه ی داخلی (نسبت به متر Y) است و $[0,1]$ شامل نقاط حدی خود است؛ همچنین $(2,4)$ مساوی نقاط حدی خود (البته به عنوان زیر فضای Y) و لذا کامل است.

$(2,4)$ در Y فشرده نیست، زیرا در $\mathbb{R}$ فشرده نیست. $[0,1]$ چگال در Y نیست، زیرا با بستار خود مساوی است.

تست 23 (سال 81)

کدام یک از نقاط، انباشتگی (تجمع یا حدی) مجموعه ی $A=\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\,|\, m,n\in\mathbb{N}\}$ است؟

1) $\frac{2}{3}$

2) 1

3) $\frac{3}{2}$

4) 2

حل تست:

گزینه ی 2.

قرار دهید m=1 و n را به بی نهایت میل دهید. (نقاط انباشتگی A مجموعه ی $\{0\}\cup\{\frac{1}{m}|m\in\mathbb{N}\}$ است.)

کدام یک از توابع d در اعداد حقیقی، متر نیست؟

1) $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$

2) $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+3|x-y|}$

3) $d(x,y)=|x^2-y^2|$

4) $d(x,y)=\left\{\begin{matrix} x-y & x\geq y\\ y-x& x<y \end{matrix}\right.$

حل تست:

گزینه ی 3.

در گزینه ی 3 داریم: $d(1,-1)=0$ که مخالف تعریف متر است.

تست 25 (سال 81)

فرض کنید $(X,d)$ یک فضای متریک و $A\subset X$ ؛ کدام گزینه همواره درست است؟

1) اگر A همبند نامتناهی باشد، آنگاه $\overline{A}$ کامل (Perfect) است.

2) اگر A کامل و کراندار باشد، آنگاه A فشرده است.

3) اگر A کامل باشد، آنگاه A ناشماراست.

3) اگر A کامل باشد، آنگاه همبند است.

حل تست:

گزینه ی 1.

برای اثبات گزینه ی 1، ثابت کنید که اگر $\overline{A}$ کامل نباشد، عضوی از A مانند a که نقطه ی تنهای آن است وجود دارد به گونه ای که مجموعه ی $\{a\}$ در A هم باز است و هم بسته که متناقض همبندی A است. برای رد سه گزینه ی دیگر، X را اعداد گویا و A را مجموعه ی همه ی اعداد گویا در بازه ی $[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ فرض کنید.

نظرات شما عزیزان:

دوستان به جای 09357795285 شماره جدید 09217354724 رو بگیرید

دوستان به جای 09357795285 شماره جدید 09217354724 رو بگیرید

طراحی سایت

اسلایدر

کد آمارگیر

پشتیبانی